Question

数列{a_n}的各项都是正数，前n项和为s_n，且对任意n∈N₊，都有a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n=S²_n．
（Ⅰ）求a₂的值；
（Ⅱ）求证：a²_n=2S_n-a_n；
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）n=1，n=2，代入数列递推式，计算可求a₂的值；
（Ⅱ）利用递推式，再写一式，两式相减，即可证明结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a²_n=2S_n-a_n，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，从而可求数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）令n=1，可得a³₁=a²₁，
∵a₁＞0，∴a₁=1，
令n=2，则a³₁+a³₂=（1+a₂）²，∴a₂=2；
（Ⅱ）证明：∵a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n=S²_n，
∴n≥2时，a³₁+a³₂+a³₃+…+a³_n-1=S²_n-1，
两式相减可得a³_n=a_n（2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n），
∵a_n＞0，∴a²_n=2a₁+2a₂+…+2a_n-1+a_n，
即a²_n=2S_n-a_n，
n=1时，结论也成立，
∴a²_n=2S_n-a_n．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a²_n=2S_n-a_n，
n≥2时，a²_n-1=2S_n-1-a_n-1，
两式相减可得a²_n-a²_n-1=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，
∴a_n=n．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，正确运用数列递推式是关键．