Question

已知△ABC是圆x²+y²=r²的内接三角形,已知A(r,0)为定点,∠BAC=120°,求△ABC重心G的轨迹方程.

Answer 1

思路解析：本题可以根据圆的性质结合图形进行分析,这里牵涉到角的运算,所以可把圆的方程转化为参数方程进行运算.

解：如右图所示,利用同弧所对圆心角与圆周角的关系,可知∠BOC=120°,B、C两点中,只要一个确定,另一个也确定,为了便于解题,引入圆的参数方程(θ为参数).

于是,设G(x,y),而点B的坐标记为(rcosθ,rsinθ),则点C的坐标为(rcos(120°+θ),rsin(120°+θ)).

从A、B、C三点互不重合得0°＜θ＜240°,利用重心坐标公式有

由式①,得3x-r=r［cosθ+cos(120°+θ)］,即3x-r=rcos(60°+θ).           ③

由式②,得3y=r［sinθ+sin(120°+θ)］,即3y=rsin(60°+θ).                   ④

由③④平方相加可得(x-)²+y²=()².

由于0°＜θ＜240°,

所以0≤x=＜,

即△ABC的重心G的轨迹方程是(x-)²+y²=()²,x∈［0,)，

轨迹是一段圆弧.