Question

设复数z=（a²-4sin²θ）+2（1+cosθ）•i，其中a∈R，θ∈（0，π），i为虚数单位．若z是方程x²-2x+2=0的一个根，且z在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a的值．

Answer 1

分析：首先求出一元二次方程的虚根，由复数相等的条件列式求解角θ，然后由实部等于1求解a的值．

解答：解：由方程x²-2x+2=0，得
x=

2± 8-(-2)2 i

2

=1±i．
∵z在复平面内对应的点在第一象限，∴z=1+i，
∴1+i=（a²-4sin²θ）+2（1+cosθ）•i，
得

a2-4sin2θ=1 2(1+cosθ)=1

，解得cosθ=-

1

2

，
∵θ∈（0，π），∴θ=

2π

3

，
∴sin2θ=

3

4

，∴a²=1+4sin²θ=4，故a=±2．
∴θ=

2π

3

，a=±2．

点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了实系数一元二次方程虚根的求法，训练了复数相等条件的应用，考查了由三角函数值求角，是中低档题．