Question

已知函数满足f（0）=0，f′（1）=0，且f（x）在R上单调递增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f′（x）-m•x在区间[m，m+2]上的最小值为-5，求实数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由满足f（0）=0，知d=0，由，f′（1）=0，知a-=0，由f（x）在R上单调递增，能求出f（x）的解析式．
（2）由，知g（x）=f′（x）-mx=，由对称轴为x=2m+1．分情况讨论对称轴与区间的位置关系能够求出满足题意的m的值．
解答：解：（1）∵数满足f（0）=0，
∴d=0，
∴，
∵f′（1）=0，
∴a-=0，
∵f（x）在R上单调递增，
∴，x∈R，
∴，x∈R．
故：，
∴a=，于是c=，
故f（x）=．
（2），
故g（x）=f′（x）-mx
=，
对称轴为x=2m+1．下面分情况讨论对称轴与区间的位置关系：
①，
，
，
∴m=-3，（m=舍去）；
②当时，
，
∴m∈∅；
③当时，
，
∴m=-1+2；
综上可得，满足题意的m有m=-3或m=-1+2．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．易错点是分类讨论时容易出现分类不清的错误．