Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（1，0），点P（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过坐标原点O的两条直线EF，MN分别与椭圆C交于E，F，M，N四点，且直线OE，OM的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，求证：四边形EMFN的面积为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{1^2}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1\\{a^2}-{b^2}=1\end{array}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）当直线EM斜率存在时，设直线方程为l：y=kx+m，E（x₁，y₁），M（x₂，y₂），与椭圆方程联立得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，利用斜率计算公式、根与系数的关系及其${k_{OE}}•{k_{OM}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{1}{2}$，可得2m²=2k²+1，原点到直线EM的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，利用${S_{△OEM}}=\frac{1}{2}|{EM}|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，代入化简即可得出定值，斜率不存在时也成立．

解答 解：（Ⅰ）∵为点$P（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$在椭圆C上，椭圆C的右焦点为F₂（1，0），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{1^2}{a^2}+\frac{1}{{2{b^2}}}=1\\{a^2}-{b^2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=2\\{b^2}=1\end{array}\right.$，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）当直线EM斜率存在时，设直线方程为l：y=kx+m，E（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}\end{array}\right.$，
${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$=$\frac{{{m^2}-2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，
由${k_{OE}}•{k_{OM}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{1}{2}$得$\frac{{\frac{{{m^2}-2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}}}{{\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}}=-\frac{1}{2}$，即2m²=2k²+1，
原点到直线EM的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_{△OEM}}=\frac{1}{2}|{EM}|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$
=$\frac{|m|}{2}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{|m|}{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{|m|}{2}\sqrt{{{（-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}）}^2}-4×\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{\frac{{16{k^2}{m^2}-4（2{m^2}-2）（1+2{k^2}）}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{\frac{{8（1+2{k^2}-{m^2}）}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}}=\frac{|m|}{2}\sqrt{\frac{{8（2{m^2}-{m^2}）}}{{4{m^4}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴${S_{EMFN}}=4{S_{△OEM}}=2\sqrt{2}$．
当直线EM斜率不存在时，${k_{OE}}•{k_{OM}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{1}{2}$，x₁=x₂，y₁=-y₂，∴${k_{OE}}•{k_{OM}}=-\frac{{{y_1}^2}}{{{x_1}^2}}=-\frac{1}{2}$，
又$\frac{x_1^2}{2}+y_1^2=1$，解得$x_1^2=1，y_1^2=\frac{1}{2}$，${S_{EMFN}}=2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、斜率计算公式、平行四边形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．