Question

P、Q、M、N四点都在椭圆x²+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线，与共线，且?=0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。

Answer 1

解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F（0，1），

故PQ方程为y=kx+1.

将此式代入椭圆方程得(2+k²)x²+2kx－1=0.

设P、Q两点的坐标分别为（x₁,y₁），（x₂,y₂），则

x₁=，x₂=.          

从而|PQ|²=(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)².=，

亦即|PQ|=       

(i)当k≠0时，MN的斜率为－，同上可推得

|MN|=故四边形面积S=|PQ|?|MN|

==.

令u=k²+，得S=,

因为u=k²+≥2，

当k=±1时，u=2,S=，且S是以u为自变量的增函数所以≤S<2.               

(ii)当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=，S=|PQ|?|MN|=2.

综合(i)，(ii)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为.