Question

（本小题满分12分）

P、Q、M、N四点都在椭圆上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共

 

线,且与共线.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

 

Answer 1

【答案】

解:如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为.

又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1

将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0

设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，

则

 

从而

 

亦即.…………………………………4分

 

①当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得

 

故四边形面积

 

令=得.…………………………………8分

 

∵=≥2 .当=±1时=2，S=且S是以为自变量的增函数.∴.

 

②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=. ∴S=|PQ||MN|=2.

 

综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为.………………………………12分

 

【解析】略