Question

（文） （本小题满分12分已知函数y=4-2

3

sinx•cosx-2sin2x(x∈R)，
（1）求函数的值域和最小正周期；
（2）求函数的递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的二倍角公式与辅助角公式将f（x）=y=4-

3

sin2x-（1-cos2x）化简为：f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3即可求函数的值域和最小正周期；
（2）利用余弦函数的单调递减区间可求得f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3的递减区间．

解答：解：（1）∵y=4-

3

sin2x-（1-cos2x）
=3-

3

sin2x+cos2x
=2cos（2x+

π

3

）+3．
∴最小正周期是T=

2π

2

=π．
∵x∈R，cos(2x+

π

3

)∈[-1，1]，
∴函数的值域为{y|1≤y≤5}．
（2）由2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π得；kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）
∴函数的递减区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．

点评：本题考查余弦函数的单调性，考查三角函数的化简与周期的求法，将f（x）=4-

3

sin2x-（1-cos2x）化简为f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3是关键，属于中档题．