Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{n}cos\frac{πx}{2}+2n，x∈[2n，2n+1）}\\{（-1）^{n+1}cos\frac{πx}{2}+2n+2，x∈[2n+1，2n+2）}\end{array}\right.$（n∈N），则f（1）-f（2）+f（3）-f（4）+…+f（2015）-f（2016）+f（2017）=1010．

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{n}cos\frac{πx}{2}+2n，x∈[2n，2n+1）}\\{（-1）^{n+1}cos\frac{πx}{2}+2n+2，x∈[2n+1，2n+2）}\end{array}\right.$（n∈N），可得-f（2n）+f（2n+1）=1，（n∈N），利用累加法，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{n}cos\frac{πx}{2}+2n，x∈[2n，2n+1）}\\{（-1）^{n+1}cos\frac{πx}{2}+2n+2，x∈[2n+1，2n+2）}\end{array}\right.$（n∈N），
当n为偶数时，f（2n）=2n+1，f（2n+1）=2n+2，
当n为奇数时，f（2n）=2n+1，f（2n+1）=2n+2，
故-f（2n）+f（2n+1）=1，（n∈N），
故f（0）=1，
-f（0）+f（1）=1，
-f（2）+f（3）=1，
-f（4）+f（5）=1，
…
-f（2016）+f（2017）=1，
累加得：f（1）-f（2）+f（3）-f（4）+…+f（2015）-f（2016）+f（2017）=1010，
故答案为：1010

点评 本题考查的知识点是函数的值，其中根据已知，求出-f（2n）+f（2n+1）=1，（n∈N），是解答的关键．