Question

9．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y+2≥0}\\{2x-y-2≤0}\end{array}\right.$，所确定的平面区域记为D，若点（x，y）是区域D上的点，则x²+y²-4x+4y的最小值是$\frac{56}{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用点到直线的距离，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
x²+y²-4x+4y=（x-2）²+（y+2）²+8，
设z=（x-2）²+（y+2）²，
则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，-2）的距离的平方，
由图象知D到直线AC：2x-y-2=0的距离最小，
此时d=$\frac{|2×2-（-2）-2|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
则z=（$\frac{4}{\sqrt{5}}$）²=$\frac{16}{5}$，
则x²+y²-4x+4y的最小值是$\frac{16}{5}$+8=$\frac{56}{5}$，
故答案为：$\frac{56}{5}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式是解决本题的关键．