Question

19．设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2.6]=2，[-2.6]=-3，设g（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$（a＞0且a≠1），那么函数f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域为（　　）

• A． {-1，0，1}
• B． {0，1}
• C． {1，-1}
• D． {-1，0}

Answer 1

分析 由已知可得g（x）+g（-x）=1，且g（x），g（-x）=1∈（0，1），进而分类讨论，求出函数f（x）的值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：∵g（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$（a＞0且a≠1），
∴g（-x）=$\frac{{a}^{-x}}{{a}^{-x}+1}$=$\frac{1}{{a}^{x}+1}$（a＞0且a≠1），
故g（x）+g（-x）=1，
又由g（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{{a}^{x}+1}$∈（0，1），
故当g（x）∈（0，$\frac{1}{2}$）时，g（-x）∈（$\frac{1}{2}$，1）时，
f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]=-1+0=-1，
当g（x）=g（-x）=$\frac{1}{2}$时，
f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]=0+0=0，
当g（x）∈（$\frac{1}{2}$，1）时，g（-x）∈（0，$\frac{1}{2}$），
f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]=0+（-1）=-1，
综上所述函数f（x）=[g（x）-$\frac{1}{2}$]+[g（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域为{-1，0}，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是函数的值域，指数函数的图象和性质，其中根据已知分析出g（x）+g（-x）=1，且g（x），g（-x）=1∈（0，1），是解答的关键．