Question

8．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得2bcosB=acosC+ccosA，利用正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，化简解得cosB=$\frac{1}{2}$，即可结合范围求B．
（2）由余弦定理可得：4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac．（当且仅当a=c成立），结合三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵acosC、bcosB、ccosA成等差数列，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
∴2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=60°．
（2）∵b=2，B=60°．
∴由余弦定理可得：4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac．（当且仅当a=c成立），
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．