Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2， E,F，G分别是PC,PD,BC的中点．

(1)求三棱锥E-CGF的体积；
(2)求证：平面PAB//平面EFG；

Answer 1

（1）（2）对于面面平行的证明，一般要根据判定定理来得到，先证明EG//平面PAB．来说民结论。

试题分析：(1)解：∵PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥BC.
又∵ABCD为正方形，
∴CD⊥BC,
∴BC⊥平面PCD即GC⊥平面CEF.
∴V_E-CGF= V_G-CEF=×S_△CEF×GC=×(×1×1)×1=．      3分

(2)证明：E,F分别是线段PC,PD的中点，
∴EF//CD.
又ABCD为正方形，AB//CD，
∴EF//AB.
又EF平面PAB，
∴EF//平面PAB．
∵E,G分别是线段PC,BC的中点，
∴EG//PB.
又EG平面PAB，
∴EG//平面PAB．
∵EF∩EG=E,
∴平面PAB//平面EFG．                            6分
(3)Q为线段PB中点时，PC⊥平面ADQ．
取PB中点Q，连接DE,EQ,AQ，
∵EQ//BC//AD，
∴ADEQ为平面四边形，
由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，
又AD⊥CD，PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC，
又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，
∴DE⊥PC.
∵AD∩DE=D，
∴PC⊥平面ADQ．                       10分
点评：主要是考查了几何体的体积的计算，以及线面平行的判定定理的运用，属于中档题。