Question

如图,点F(-c,0)为双曲线C:=1(a＞0,b＞0)的左焦点，左准线l交x轴于点Q,点P是l上的一点,已知|PQ|=|FQ|=1,且线段PF的中点M在双曲线C的左支上.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)若过点F的直线m与双曲线C的左右两支分别交于A、B两点,设=λ,当λ∈［6,+∞)时,求直线m的斜率k的取值范围.

Answer 1

解:(1)由c²=a²+b²,①  |FQ|=c=1,∴b²=c.②

由中点坐标公式得M(-c+,).又M(-c+,)在双曲线上,∴=1.③

联立①②③,解得a=b=,c=2.∴双曲线方程为x²-y²=2.

(2)由(1),F(-2,0),设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),直线m:y=k(x+2),

则由=λ,得x₂=λ(x₁+2)-2,y₂=λy₁.

由得(1-k²)y²-4ky+2k²=0.Δ=16k²-8k²(1-k²)=8k²(1+k²).

∴y₁+y₂=,y₁y₂=.

由y₂=λy₁,y₁+y₂=,y₁y₂=,消去y₁,y₂,得=λ++2.

∵λ≥6,函数g(λ)=λ++2在(1,+∞)上单调递增,∴≥6++2=,

∴k²≥.又直线m与双曲线的两支相交,即方程(1-k²)y²-4ky+2k²=0两根同号,

∴k²＜1.∴≤k²＜1,故k∈(-1,］∪［,1).