Question

如图，点F（a，0）（a＞0），点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，点N为动点，且

PM

•

PF

=0，

PN

+

PM

=

0

．
（1）求点N的轨迹C；
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设K（-a，0），

KA

与

KB

的夹角为θ，求证0＜θ＜

π

2

．

Answer 1

分析：（1）先设点N（x，y），然后可以得到向量

PM

、

PF

，进而根据

PN

+

PM

=

0

、

PM

•

PF

=0可得答案．
（2）先设出直线方程，然后和（1）中所求的轨迹方程联立得到两根之和与两根之积，进而由

KA

•

KB

＞0得到答案．

解答：解：（1）设N（x，y）∵

PN

+

PM

=

0

∴M（-x，0），P（0，

y

2

）

PM

=（-X，-

y

2

），

PF

=（a，-

y

2

）
∵

PM

•

PF

=0∴

PM

•

PF

=-ax+

y2

4

=0
∴y²=4ax

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴直线l：y=k（x-a）

KA

=（x₁+a，y₁）

KB

=（x₂+a，y₂）
联立

y=k(x-a) y2=4ax

∴ky²-4ay-4ka²=0
∴y1+y2=

4a

k

，y₁y₂=-4a²，x₁x₂=a²，x1+x2=

2a(k2+2)

k2

∴

KA

•

KB

=（x₁+a）（x₂+a）+y₁y₂=x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²+y₁y₂
=2a²+

2a2(k2+2)

k2

-4a²=

2a2(k2+2)

k2

-2a²=2a2(1+

2

k2

-1)=

4a2

k2

＞0
∴cosθ＞0∵θ∈[0，π]∴θ∈（0，

π

2

）

点评：本题主要考查向量的数量积运算和圆锥曲线的有关问题．在解决圆锥曲线的有关问题时，一般都是联立直线方程和圆锥曲线方程求出两根之和与两根之积，然后 根据题意解题．