Question

（12分）如图所示，边长为的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．

（1）证明：⊥；

（2）求二面角的大小；

（3）求点到平面的距离．

Answer 1

 解析：（法一）（1）证明：取中点，连接、．

       ∵△是等边三角形，∴⊥，

       又平面⊥平面，

       ∴⊥平面，∴在平面内射影是，

       ∵=2，，，,

       ∴△∽△，∴．

       又°，∴°，

       ∴°，∴⊥，

       由三垂线定理知⊥ 

（2）解：由⊥，⊥得是二面角的平面角      

       在Rt△中，，，∴，       °，∴二面角的大小是45°

（3）解：设到平面的距离距离是，则，

，，

．又，，

∴=，∴点到平面的距离距离是 

（方法二）证明：取中点，连接，

       ∵△是等边三角形，∴⊥，

       又∵平面⊥平面，

       ∴⊥平面，又是矩形，

∴可建立如图所示的空间直角坐标系

∵=2，，

       ∴（，-1，0），（，1，0），（0，0，），

       ∴（-，2，0），（，1，-），∴=

∴⊥，∴⊥ 

（2）解：由（1）知平面的法向量=（0，0，）

设平面的法向量=（，，），则⊥，⊥，

∴，，取，得，

=（1，，），，∴二面角的大小是45°

（3）解：（0，―1，0），，（0，-1，-）

又 =（1，，），∴

∴点到平面的距离距离是．