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    （08年合肥市质检一）（14分）如图，在几何体中，面为矩形，面，

    （1）求证；当时，平面PBD⊥平面PAC；

    （2）当时，求二面角的取值范围。

     

    解析：以A为坐标原点，射线AP、AB、AD分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的坐标系。设，由已知得

    （1）当时，，

    ∴      4分

    ∴，∴

    又，∴平面PBD⊥平面PAC；                                            6分

    解法二：当时，矩形为正方形，∴

    ∵面，∴                                                            2分

    又，∴BD⊥平面PAC，BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC

    （2）由

    得

    设平面PDC，∴

    ∴    不妨设，则

    设平面PDB，∴

    ∴  不妨设，则 10分

    ∴

    当变化时，即，

                                             12分

    又，∴                             14分

     

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    （2）生产厂方规定：若四项指标均合格，每位职工可得质量保证奖1500元；若第一、第二、第三项指标中仅有一项不合格且第四项指标合格，每位职工可得质量保证奖500元；若该品牌的食品不能上市，每位职工将被扣除质量保证金1000元。设随机变量表示某位职工所得质量保证奖金数，求的期望。

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    （1）求的值；

    （2）当时，恒成立，求的取值范围。

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