Question

已知函数y=

1+x 1-x

+lg(3-4x+x2)的定义域为M．
（1）求M；
（2）当x∈M时，求f（x）=a•2^x+2+3•4^x（a＞-3）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意列出不等式组

1+x 1-x ≥0且x≠1 3-4x+x2＞0

，求出解集再用区间表示；
（2）用配方法对解析式变形，设t=2^x由（1）的结果求出t的范围，则原函数变成关于t的二次函数，再根据对称轴和t的范围进行分类，由二次函数的性质求出对应的最小值．

解答：解：（1）由题意得，

1+x 1-x ≥0且x≠1 3-4x+x2＞0

，

-1≤x＜1 x＞3或x＜1

，解得-1≤x＜1
∴函数的定义域M=[-1，1）．
（2）f（x）=a•2^x+2+3•4^x）=4a•2^x+3•2^2x=3(2x+

2

3

a) 2-

4

3

a²，
由（1）知，x∈[-1，1），设t=2^x，则t∈[

1

2

，2），
函数变为g（t）=3(t+

2

3

a)2-

4

3

a²，又∵a＞-3，∴-

2

3

a＜2，
①若-

2

3

a≤

1

2

时，即a≥-

3

4

，函数g（t）在[

1

2

，2）上时增函数，
∴f（x）的最小值是g（

1

2

）=3(

1

2

+

2

3

a) 2-

4

3

a²=2a+

3

4

，
②若

1

2

＜-

2

3

a＜2时，即-3＜a＜-

3

4

，当t=-

2

3

a时，f（x）取到最小值是-

4

3

a²．
综上，当a≥-

3

4

时，f（x）的最小值是2a+

3

4

；当-3＜a＜-

3

4

，f（x）的最小值是-

4

3

a²．

点评：本题是一道综合题，考查了求函数的定义域和最值，用了对数函数、指数函数和二次函数的性质，利用换元法对函数解析式进行转化后再求函数的最值，注意换元后的定义域和对称轴的位置．