Question

已知函数y=

1+x 1-x

+lg(3-4x+x2)的定义域为M，
（1）求M；
（2）当x∈M时，-2^x+2+3×4^x≥k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要使函数有意义，须有

1+x 1-x ≥0 3-4x+x2＞0

，解出可得M；
（2）x∈M时，-2^x+2+3×4^x≥k恒成立，等价于-2^x+2+3×4^x的最小值大于等于k，通过换元借助二次函数的性质可求得-2^x+2+3×4^x的最小值；

解答：解：（1）由

1+x 1-x ≥0 3-4x+x2＞0

，得

-1≤x＜1 x＜1或x＞3

，解得-1≤x＜1，
所以M={x|-1≤x＜1}；
（2）-2^x+2+3×4^x=-4•2^x+3•（2^x）²，
令t=2^x，因为x∈M，所以t∈[

1

2

，2），
则-4•2^x+3•（2^x）²=3t²-4t=3(t-

2

3

)2-

4

3

，
所以当t=

2

3

即x=log2

2

3

时，-2^x+2+3×4^x取得最小值-

4

3

，
-2^x+2+3×4^x≥k恒成立，等价于-

4

3

≥k，
所以实数k的取值范围是k≤-

4

3

；

点评：本题考查函数恒成立问题、不等式的求解，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．