Question

点P（x，y）是区域|x|+|y|≤1的动点，求ax+y的最大值．

Answer 1

分析：作出题中不等式表示的平面区域，得到如图所示的正方形平面区域．再分-1≤a≤1、a＜-1与a＞1三种情况讨论，平移直线y=-ax+t并观察纵截距t的变化，可得各种情况下的目标函数的最大值．最后加以综合，可得答案．

解答：解：作出|x|+|y|≤1表示的平面区域，得到如图所示的正方形平面区域，
设t=ax+y，则直线y=-ax+t是斜率为-a的一族平行直线，讨论如下：

（1）当-1≤-a≤1，即-1≤a≤1时，直线过A（0，1）时，纵截距t最大，可得t_max=1；（如图1）
（2）当-a＞1，即a＜-1时，直线过D（-1，0）时，纵截距t最大，t_max=-a；（如图2）
（3）当-a＜-1，即a＞1时，直线过B（1，0）时，纵截距t最大，t_max=a，（如图3）
综上可知，ax+y的最大值为tmax=

1(-1≤a≤1) -a(a＜-1) a(a＞1)

．

点评：本题给出不等式|x|+|y|≤1，求目标函数ax+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．