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“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康,某企业在政府部门的支持下,进行技术攻关,新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目.经测算,该项目处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数可以近似的表示为:y=
1
3
x3-80x2+5040x,x∈[120,144)
1
2
x2-200x+80000,x∈[144,500)
,且每处理一吨“食品残渣”,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将补贴.
(1)当x∈[200,300)时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获得,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损;
(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
分析:(1)先确定该项目获利的函数,再利用配方法确定不会获利,从而可求政府每月至少需要补贴的费用;
(2)确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数,分别求出分段函数的最小值,即可求得结论.
解答:解:(1)当x∈[200,300)时,该项目获利为S,则S=200x-(
1
2
x2-200x+80000)=-
1
2
(x-400)2
∴当x∈[200,300)时,S<0,因此,该项目不会获利
当x=300时,S取得最大值-5000,所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损;
(2)由题意知,食品残渣的每吨的平均处理成本为
y
x
=
1
3
x
2
-80x+5040,x∈[120,144]
1
2
x+
80000
x
-200,x∈[144,500]

①当x∈[120,144)时,
y
x
=
1
3
(x-120)2+240
,∴当x=120时,
y
x
取得最小值240;
②当x∈[144,500)时,
y
x
=
1
2
x+
80000
x
-200≥400-200=200

当且仅当
1
2
x=
80000
x
,即x=400时,
y
x
取得最小值200
∵200<240
∴每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.
点评:本题考查函数模型的构建,考查函数的最值,考查利用数学知识解决实际问题,解题的关键是确定函数关系式.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年宁夏高三上学期第五次月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康,某企业在政府部门的支持下,进行技术攻关,新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为:

且每处理一吨“食品残渣”,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将补贴.

(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损;

(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

 

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康,某企业在政府部门的支持下,进行技术攻关,新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目.经测算,该项目处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数可以近似的表示为:y=
1
3
x3-80x2+5040,x∈[120,144)
1
2
x2-200x+80000,x∈[144,500)
,且每处理一吨“食品残渣”,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将补贴.
(1)当x∈[200,300)时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获得,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损;
(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

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科目:高中数学 来源:山东省期末题 题型:解答题

“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康,某企业在政府部门的支持下,进行技术攻关,新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目.经测算,该项目处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数可以近似的表示为:,且每处理一吨“食品残渣”,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将补贴.
(1)当x∈[200,300)时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获得,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损;
(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

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科目:高中数学 来源: 题型:

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且每处理一吨“食品残渣”,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将补贴.

(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损.

(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

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