Question

（2012•黑龙江）选修4-4；坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程是

x=2cos? y=3sin?

(?为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C₂的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C₂上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，

π

3

)
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C₁上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；
（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范围．

解答：解：（1）点A，B，C，D的极坐标为(2，

π

3

)，(2，

5π

6

)，(2，

4π

3

)，(2，

11π

6

)
点A，B，C，D的直角坐标为(1，

3

)，(-

3

，1)，(-1，-

3

)，(

3

，-1)
（2）设P（x₀，y₀），则

x0=2cosφ y0=3sinφ

(φ为参数）
t=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²=4x²+4y²+16=32+20sin²φ
∵sin²φ∈[0，1]
∴t∈[32，52]

点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．