Question

设f1(x)=

2

1+x

，f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，且an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，则a₂₀₀₇=（　　）

• A、(-

  1

  2

  )2005
• B、(

  1

  2

  )2006
• C、(-

  1

  2

  )2007
• D、(

  1

  2

  )2008

Answer 1

分析：先根据递推关系式得到f_n+1（x）=

2

1+fn(x)

，再得到f_n+1（x）+2、f_n+1（x）-1的值后相比得到∴{

fn(0)+2

fn(0)-1

}是以

f1(0)+2

f1(0)-1

为首项以-2为公比的等比数列，故可得到{a_n}是以

1

4

为首项以-

1

2

为公比的等比数列，进而可得到答案．

解答：解：∵f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]=

2

1+fn(x)

∴f_n+1（x）+2=

2(2+fn(x))

1+fn(x)

，f_n+1（x）-1=

1-fn(x)

1+fn(x)

∴

fn+1(x)+2

fn+1(x)-1

=

2(2+fn(x))

1-fn(x)

=-2×

fn(x)+2

fn(x)-1

∴{

fn(0)+2

fn(0)-1

}是以

f1(0)+2

f1(0)-1

为首项以-2为公比的等比数列，
故{a_n}是以

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

为首项以-

1

2

为公比的等比数列
∴∴a₂₀₀₇=(

1

2

)2008
故选D．

点评：本题主要考查递推关系式的应用和等比数列的通项公式．考查综合运用能力．