Question

设f1(x)=

2

1+x

，fn+1(x)=f1[fn(x)]，且an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，则a₁+a₂+…+a₂₀₀₉=

 

．

Answer 1

分析：首先根据f_n+1与f_n的关系，求出a_n+1与a_n 的递推关系，继而求出通项公式，然后根据通项公式的特点求前2009项之和

解答：解：因为f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

所以

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=-

1

2

•

fn(0)-1

fn(0)+2

即a_n+1=-

1

2

•a_n
而a1=1/4
  a2=-1/8
∴an=

1

4

•(-

1

2

)n-1 
=(-

1

2

)n+1对于任何正整数n均成立
∴a₁+a₂+…+a2009=

1

6

[1+(

1

2

)2009]．
故答案为：

1

6

[1+(

1

2

)2009]．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，涉及到递推关系的推导，属于难题