Question

北京奥运会纪念章特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时，该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元（x∈N*）．
（Ⅰ）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；
（Ⅱ）当每枚纪念章的销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值．

Answer 1

（Ⅰ）依题得y=

[2000+400(20-x)](x-7)    7＜x≤20 [2000-100(x-20)](x-7)     20＜x＜40

x∈N⁺
y=

400(25-x)(x-7)    7＜x≤20 x∈N+ 100(40-x)(x-7)     20＜x＜40 x∈N+

此函数的定义域为{x|7＜x＜40，x∈N^*}
（Ⅱ）y=

400[-(x-16)2+81] 7＜x≤20 x∈N+ 100[-(x- 47 2 )2+ 1089 4 ] 20＜x＜40 x∈N+

，
当7＜x≤20，则当x=16时，y_max=32400（元）；
当20＜x＜40，因为x∈N^*，所以当x=23或24时，y_max=27200（元）；
综合上可得当x=16时，该特许专营店获得的利润最大为32400元．