Question

2．判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）=$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$；
（2）f（x）=（x+1）$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1（x＞0）}\\{{x}^{2}+2x-1（x＜0）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）由4-x²≥0可得-2≤x≤2，求出f（-x），判断与f（x）的关系，即可判断奇偶性；
（2）由$\frac{1-x}{1+x}$≥0，解得-1＜x≤1，定义域为（-1，1]不关于原点对称，即可判断奇偶性；
（3）定义域关于原点对称，分别考虑x＞0，x＜0，取相反数时f（-x）与f（x）的关系，即可判断奇偶性．

解答 解：（1）由4-x²≥0可得-2≤x≤2，
定义域为[-2，2]关于原点对称，
又f（-x）=$\frac{\sqrt{4-（-x）^{2}}}{-x}$=-$\frac{\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（2）由$\frac{1-x}{1+x}$≥0，解得-1＜x≤1，
定义域为（-1，1]不关于原点对称，
则f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；
（3）定义域为{x|x≠0且x∈R}关于原点对称，
当x＞0时，-x＜0，即有f（-x）=x²-2x-1=-（-x²+2x+1）=-f（x），
当x＜0时，-x＞0，即有f（-x）=-x²-2x+1=-（x²+2x-1）=-f（x），
即有f（-x）=-f（x）．
则有函数f（x）为奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，一是看定义域是否关于原点对称，二是看-x与x函数值之间的关系．