Question

6．已知f（x）=log_a$\frac{1-x}{1+x}$（a＞0且a≠1）
（1）求f（$\frac{1}{2012}$）+f（-$\frac{1}{2012}$）的值．
（2）判断f（x）是定义域内的单调性；
（3）当a＞1时，求满足不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0的x的范围．

Answer 1

分析 （1）先解$\frac{1-x}{1+x}＞0$得到函数f（x）的定义域为（-1，1），然后根据对数的运算可以求出f（-x）=-f（x），从而便可得到f（$\frac{1}{2012}$）+f（-$\frac{1}{2012}$）=0；
（2）根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，然后作差，进行对数的运算，可以得出$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{a}（\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}•\frac{1+{x}_{2}}{1+{x}_{1}}）$，容易得出$\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}•\frac{1+{x}_{2}}{1+{x}_{1}}＞1$，从而可得到a＞1时，f（x）在定义域内单调递减，0＜a＜1时，单调递增；
（3）根据f（-x）=-f（x）以及a＞1时，f（x）在定义域内单调递减，便可由不等式f（x-2）+f（4-3x）≥0得到f（x-2）≥f（3x-4），从而得出x需满足$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-2＜1}\\{-1＜3x-4＜1}\\{x-2≤3x-4}\end{array}\right.$，这样解该不等式组即可得出x的范围．

解答 解：（1）解$\frac{1-x}{1+x}＞0$得，-1＜x＜1；
f（-x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}=lo{g}_{2}（\frac{1-x}{1+x}）^{-1}=-f（x）$；
∴$f（\frac{1}{2012}）+f（-\frac{1}{2012}）=f（\frac{1}{2012}）-f（\frac{1}{2012}）=0$；
（2）设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{a}\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}-lo{g}_{a}\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=$lo{g}_{a}（\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}•\frac{1+{x}_{2}}{1+{x}_{1}}）$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0；
∴$\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}＞1，\frac{1+{x}_{2}}{1+{x}_{1}}＞1$；
∴$\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}•\frac{1+{x}_{2}}{1+{x}_{1}}＞1$；
∴①a＞1时，$lo{g}_{a}（\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}•\frac{1+{x}_{2}}{1+{x}_{1}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
②0＜a＜1时，$lo{g}_{a}（\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}•\frac{1+{x}_{2}}{1+{x}_{1}}）＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴a＞1时，f（x）在定义域（-1，1）内单调递减，0＜a＜1时，f（x）单调递增；
（3）根据（2）知a＞1时，f（x）在定义域内单调递减，且f（-x）=-f（x）；
∴由f（x-2）+f（4-3x）≥0得，f（x-2）≥f（3x-4）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-2＜1}\\{-1＜3x-4＜1}\\{x-2≤3x-4}\end{array}\right.$；
解得$1＜x＜\frac{5}{3}$；
∴x的范围为$（1，\frac{5}{3}）$．

点评 考查奇函数的定义，奇函数的判断方法，函数单调性的定义，以及根据单调性定义判断函数单调性的方法和过程，对数的运算，以及对数函数的单调性，根据单调性定义解不等式．