Question

6．椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点重合，曲线C₁与C₂相交于点（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$）．
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）过右焦点F₂的直线l（与x轴不重合）与椭圆C₁交于A、C两点，线段AC的中点为G，连接OG并延长交椭圆C₁于B点（O为坐标原点），求四边形OABC的面积S的最小值．

Answer 1

分析 （I）将点代入抛物线方程求得p，求得焦点坐标，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆C₁的方程；
（II）方法一：设直线AC的方程为x=my+1，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得G，求得OG，代入椭圆方程求得B点坐标，利用点到直线的距离公式，S_OABC=$\frac{1}{2}$|AC|（d₁+d₂），利用函数单调性即可求得四边形OABC的面积S的最小值；
方法二：当直线斜率不存在时，直线AC方程x=1，此时四边形OABC的面积S=$\frac{3}{2}$×2=3，当直线AC的斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得G，求得OG，代入椭圆方程求得B点坐标，利用点到直线的距离公式，S_OABC=$\frac{1}{2}$|AC|（d₁+d₂），利用函数单调性即可求得四边形OABC的面积S的最小值；

解答 解：（I）∵将（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$$\sqrt{6}$）代入抛物线方程，
解得：p=2，
∴y²=4x，
∴椭圆C₁的右焦点为（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a^2}-{b^2}=1\\ \frac{{\frac{4}{9}}}{a^2}+\frac{{\frac{24}{9}}}{b^2}=1\end{array}\right.$，
∴$椭圆{C_1}的标准方程为：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（II）方法一：设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），G（x₀，y₀）．
设直线AC的方程为x=my+1，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4+3m²）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
由弦长公式可得|AC|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$×$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$，
又y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4+3{m}^{2}}$，x₀=my₀+1=$\frac{4}{3{m}^{2}+4}$，
∴G（$\frac{4}{3{m}^{2}+4}$，-$\frac{3m}{4+3{m}^{2}}$），
直线OG的方程为y=-$\frac{3m}{4}$x，代入椭圆方程得x²=$\frac{16}{4+3{m}^{2}}$，
∴B（$\frac{4}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$，-$\frac{3m}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$），
B到直线AC的距离d₁=$\frac{\sqrt{4+3{m}^{2}}-1}{1+{m}^{2}}$，
O到直线AC的距离d₂=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴S_OABC=$\frac{1}{2}$|AC|（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$×$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$×$\frac{\sqrt{4+3{m}^{2}}}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=6×$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{4+3{m}^{2}}}$=6$\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{3（4+3{m}^{2}）}}$≥3，
当m=0时取得最小值3．
∴四边形OABC的面积S的最小值3．
方法二：当直线斜率不存在时，直线AC方程x=1，此时四边形OABC的面积S=$\frac{3}{2}$×2=3，
当直线AC的斜率存在时，设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
直线AC：y=k（x-1），$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
x_G=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y_G=k（x_G-1）=$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$，
则G（$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$），则OG：y=-$\frac{3}{4k}$x，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4k}x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：x²=$\frac{16{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，
不妨设k＞0，
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{B}=\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}}\\{{y}_{B}=\frac{-3}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}}\end{array}\right.$，
则B到直线AC距离d₁=$\frac{丨\sqrt{3+4{k}^{2}-k}丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}}-k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
O到直线AC的距离d₂=$\frac{k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
由弦长公式可知丨AC丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{\frac{16（9{k}^{2}+9）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
则S_OABC=$\frac{1}{2}$|AC|（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$×$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$×$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
=6×$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$，
=6×$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4{（4k}^{2}+3）}}$＞3，
综上可知：当直线AC垂直于x轴时，四边形OABC的面积S的最小值3．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，点到直线的距离公式，弦长公式，考查函数的单调性与椭圆的综合应用，考查计算能力，属于中档题．