Question

10．已知F₁、F₂是椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，F₁（-1，0），且椭圆M过点（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂分别作直线l₁与l₂，l₁交椭圆于B，D两点，l₂交椭圆于A，C两点，且l₁⊥l₂，若四边形ABCD的面积为$\frac{96}{25}$，求直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用F₁、F₂是椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，F₁（-1，0），且椭圆M过点（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），求出a，b，即可求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）当l₁，l₂中有一条直线的斜率不存在时，四边形的面积为S=4；若l1 与l₂的斜率都存在，设l₁的斜率为k，则直线l₁的方程为y=k（x+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线l₁与椭圆方程，
消去y整理得，（3k²+2）x²+6k²x+3k²-6=0，得|AB|，用-$\frac{1}{k}$代替k，得|CD|，由此能求出四边形ABCD面积，利用四边形ABCD的面积为$\frac{96}{25}$，求直线l₁的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵F₁、F₂是椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，F₁（-1，0），且椭圆M过点（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴c=1，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{4}{3}}{{b}^{2}}$=1，
∴a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆M的标准方程$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）当l₁，l₂中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，
此时四边形的面积为S=4．
若l₁与l₂的斜率都存在，设l₁的斜率为k，则l₂的斜率为-$\frac{1}{k}$．
∴直线l₁的方程为y=k（x+1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线l₁与椭圆方程，
消去y整理得，（3k²+2）x²+6k²x+3k²-6=0，（1）
∴x₁+x₂=-$\frac{6{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-6}{3{k}^{2}+2}$
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+2}$，（2）
注意到方程（1）的结构特征，或图形的对称性，
可以用-$\frac{1}{k}$代替（2）中的k，得|CD|=$\frac{4\sqrt{3}（{k}^{2}+1）}{3+2{k}^{2}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|=$\frac{1}{2}•$$\frac{48（1+{k}^{2}）^{2}}{（3{k}^{2}+2）（3+2{k}^{2}）}$=$\frac{96}{25}$，
解得k=±1，
∴直线l₁的方程为y=±（x+1）．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查四边形面积的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．