Question

17．已知x，y满足：$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y}$=1．
（Ⅰ）若x＞0，y＞0，求2x+y的最小值；
（Ⅱ）解关于x的不等式：y≥2x．

Answer 1

分析 （I）由$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y}$=1，可得$y=\frac{1+x}{x}$，于是2x+y=$2x+\frac{x+1}{x}$=2x+$\frac{1}{x}$+1，利用基本不等式的性质即可得出；
（II）由于$y=\frac{1+x}{x}$，可得y-2x=$\frac{x+1}{x}$-2x≥0，化简即可得出．

解答 解：（I）∵x＞0，y＞0，x，y满足：$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y}$=1．
∴$y=\frac{1+x}{x}$，∴2x+y=$2x+\frac{x+1}{x}$=2x+$\frac{1}{x}$+1$≥2\sqrt{2x•\frac{1}{x}}$+1=2$\sqrt{2}$+1，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=1+$\sqrt{2}$时取等号．
∴2x+y的最小值为2$\sqrt{2}$+1．
（II）∵$y=\frac{1+x}{x}$，∴y-2x=$\frac{x+1}{x}$-2x≥0，∴x（2x+1）（x-1）≤0，解得$x≤-\frac{1}{2}$，0＜x≤1．
∴原不等式的解集为{x|$x≤-\frac{1}{2}$，0＜x≤1}．

点评 本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．