Question

（2013•南通一模）已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且Sn=

n(an-a1)

2

．
（1）求a₁，a₃；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设lgbn=

an+1

3n

，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Sn=

n(an-a1)

2

中，分别令n=2，n=3即可求得答案；
（2）由Sn=

n(an-a1)

2

，即Sn=

nan

2

①，得Sn+1=

(n+1)an+1

2

②，两式作差得（n-1）a_n+1=na_n ③，从而有na_n+2=（n+1）a_n+1 ④，③+④，根据等差数列中项公式即可证明；
（3）假设存在正整数数组（p，q），使b₁，b_p，b_q成等比数列，则lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件．

解答：（1）解：令n=1，则a₁=S₁=

1(a1-a1)

2

=0，
令n=3，则S3=

3(a3-a1)

2

，即0+1+a₃=

3a3

2

，解得a₃=2；   
（2）证明：由Sn=

n(an-a1)

2

，即Sn=

nan

2

①，得Sn+1=

(n+1)an+1

2

②，
②-①，得（n-1）a_n+1=na_n ③，
于是，na_n+2=（n+1）a_n+1 ④，
③+④，得na_n+2+na_n=2na_n+1，即a_n+2+a_n=2a_n+1，
又a₁=0，a₂=1，a₂-a₁=1，
所以数列{a_n}是以0为首项，1为公差的等差数列．
所以a_n=n-1．                                          
（3）假设存在正整数数组（p，q），使b₁，b_p，b_q成等比数列，
则lgb₁，lgb_p，lgb_q成等差数列，
于是，

2p

3p

=

1

3

+

q

3q

．                                       
所以，q=3q(

2p

3p

-

1

3

)（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．    
当p≥3，且p∈N*时，

2(p+1)

3p+1

-

2p

3p

=

2-4p

3p+1

＜0，
故数列{

2p

3p

}（p≥3）为递减数列                                      
于是

2p

3p

-

1

3

≤

2×3

33

-

1

3

＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．      
综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b₁，b_p，b_q成等比数列．

点评：本题考查等差、等比数列的综合问题，考查等差数列的通项公式，考查递推公式求数列通项，存在性问题往往先假设存在，然后以此出发进行推理论证得到结论．