Question

已知，点A(s,f(s)), B(t,f(t))

  (I) 若,求函数的单调递增区间；

(II)若函数的导函数满足：当|x|≤1时，有||≤恒成立，求函数的解析表达式；

(III)若0<a<b, 函数在和处取得极值，且,证明：与不可能垂直.

Answer 1

(I) f(x)的增区间是(-∞，)和[1,+ ∞]. …………………………3分

(II) f(x)=x³x. ……………………9分

(III) 证明见解析

解析:

(I) f (x)=x³-2x²+x, (x)=3x²-4x+1,

           因为f(x)单调递增，

所以(x)≥0，

即 3x²-4x+1≥0,

解得，x≥1, 或x≤,……………………………2分

故f(x)的增区间是(-∞，)和[1,+ ∞]. …………………………3分

(II) (x)=3x²-2(a+b)x+ab.

     当x∈[-1，1]时，恒有|(x)|≤.………………………4分

     故有≤(1)≤，

       ≤(-1)≤，

       ≤(0)≤,………………………5

    即     ………6

①+②，得

≤ab≤，……………………………8分

又由③，得

    ab=，

将上式代回①和②，得

  a+b=0,

故f(x)=x³x. ……………………9分

(III) 假设⊥,

 即= = st+f(s)f(t)=0, ……………10分

(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,

 [st-(s+t)a+a²][st-(s+t)b+b²]=-1, ……………………………………11分

 由s，t为(x)=0的两根可得，

     s+t=(a+b), st=, (0<a<b),

 从而有ab(a-b)²=9. ……………………………………12分

 这样(a+b)²=(a-b)²+4ab

              = +4ab≥2=12，

即 a+b≥2,

这样与a+b<2矛盾. ……………………13分

故与不可能垂直.