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    （2012•上海）定义向量
    OM
    =（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
    OM
    =（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
    （1）设g（x）=3sin（x+
    π
    2
    ）+4sinx，求证：g（x）∈S；
    （2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
    （3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量
    OM
    的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．
    分析：（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；
    （2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；
    （3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出
    b
    a
    的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论．
    解答：解：（1）g（x）=3sin（x+
    π
    2
    ）+4sinx=4sinx+3cosx，
    其‘相伴向量’
    OM
    =（4，3），g（x）∈S．
    （2）h（x）=cos（x+α）+2cosx
    =（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx
    =-sinαsinx+（cosα+2）cosx
    ∴函数h（x）的‘相伴向量’
    OM
    =（-sinα，cosα+2）．
    则|
    OM
    |=
    		(-sinα) 2+(cosα+2) 2
    =
    		5+4cosα
    ．
    （3）
    OM
    的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx=
    		a2+b2
    sin（x+φ），
    其中cosφ=
    a
    		a2+b2
    ，sinφ=
    b
    		a2+b2
    ．
    当x+φ=2kπ+
    π
    2
    ，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+
    π
    2
    -φ，k∈Z．
    ∴tanx0=tan（2kπ+
    π
    2
    -φ）=cotφ=
    a
    b
    ，
    tan2x0=
    2tanx0
    1-tan 2x0
    =
    2×
    a
    b
    1-(
    a
    b
    )    2
    =
    2
    b
    a
    -
    a
    b
    ．
    b
    a
    为直线OM的斜率，由几何意义知：
    b
    a
    ∈[-
    		3
    3
    ，0）∪（0，
    		3
    3
    ]．
    令m=
    b
    a
    ，则tan2x0=
    2
    m-
    1
    m
    ，m∈[-
    		3
    3
    ，0）∪（0，
    		3
    3
    }．
    当-
    		3
    3
    ≤m＜0时，函数tan2x0=
    2
    m-
    1
    m
    单调递减，∴0＜tan2x0≤
    		3
    ；
    当0＜m≤
    		3
    3
    时，函数tan2x0=
    2
    m-
    1
    m
    单调递减，∴-
    		3
    ≤tan2x0＜0．
    综上所述，tan2x0∈[-
    		3
    ，0）∪（0，
    		3
    ]．
    点评：本体主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识．是对基础知识的综合考查，需要有比较扎实的基本功．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1．
    （1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；
    （2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
    （3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•上海二模）已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0），半焦距为c（c＞0），且满足（2a-3c）+（a-c）i=i（其中i为虚数单位），经过椭圆的左焦点F（-c，0），斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
    （1）求椭圆的标准方程；
    （2）当k1=1时，求S△AOB的值；
    （3）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k2，求证：
    k1
    k2
    为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

     (2012年高考上海卷理科22)（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：．

    （1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；

    （2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；

    （3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.

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