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    某商场共五层，从五层下到四层有3个出口，从三层下到二层有4个出口，从二层下到一层有4个出口，从一层走出商场有6个出口．安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层的安保工作．假设每名警员到该层各出口处的时间相等，某罪犯在五楼犯案后，欲逃出商场，各警员同时接到指令，选择一个出口进行围堵．逃犯在每层选择出口是等可能的．已知他被三楼警员抓获的概率为
    19
    ．
    （Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？
    （Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网．设抓到逃犯时，他已下了ξ层楼，写出ξ的分布列，并求Eξ．
    分析：（I）设四层下到三层有n个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇，则在第5层，4层，3层分别被同层警员抓获的概率分别为
    1
    3
    ，
    1
    n
    ，
    1
    4
    ，于是可得(1-
    1
    3
    )(1-
    1
    n
    )×
    1
    4
    =
    1
    9
    ，解得n即可．
    （II）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．则P（ξ=0）=
    1
    3
    ，P（ξ=1）=(1-
    1
    2
    )×
    1
    3
    ，P（ξ=2）=(1-
    1
    3
    )×(1-
    1
    3
    )×
    1
    4
    ，P（ξ=3）=(1-
    1
    3
    )×(1-
    1
    3
    )×(1-
    1
    4
    )×
    1
    4
    ，P（ξ=4）=(1-
    1
    3
    )×(1-
    1
    3
    )×(1-
    1
    4
    )×(1-
    1
    4
    )×
    1
    6
    ，利用分布列的性质可得P（ξ=5）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）-P（ξ=4）即可得出分布列和数学期望．
    解答：解：（I）设四层下到三层有n个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇．
    ∴(1-
    1
    3
    )(1-
    1
    n
    )×
    1
    4
    =
    1
    9
    ，解得n=3．
    （II）ξ可能取值为0，1，2，3，4，5．
    p(ξ=0)=
    1
    3
    ，p(ξ=1)=(1-
    1
    3
    )×
    1
    3
    =
    2
    9
    ，p(ξ=2)=(1-
    1
    3
    )(1-
    1
    3
    )×
    1
    4
    =
    1
    9
    ；p(ξ=3)=(1-
    1
    3
    )(1-
    1
    3
    )(1-
    1
    4
    )×
    1
    4
    =
    1
    12
    ，p(ξ=4)=(1-
    1
    3
    )(1-
    1
    3
    )(1-
    1
    4
    )(1-
    1
    4
    )×
    1
    6
    =
    1
    24
    ，p(ξ=5)=1-
    1
    3
    -
    2
    9
    -
    1
    9
    -
    1
    12
    -
    1
    24
    =
    5
    24

    所以分布列为
    ξ 0 1 2 3 4 5
    p
    1
    3
    2
    9
    1
    9
    1
    12
    1
    24
    5
    24
    Eξ=0×
    1
    3
    +1×
    2
    9
    +2×
    1
    9
    +3×
    1
    12
    +4×
    1
    24
    +5×
    5
    24
    =
    137
    72
    ．
    点评：本题考查了相互独立事件和对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望等基础知识与基本方法，属于难题．
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    （Ⅰ）问四层下到三层有几个出口？

    （Ⅱ）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网。设抓到逃犯时，他已下了层楼，写出的分布列，并求。

     

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