Question

2．设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）．

Answer 1

分析 （1）根据函数周期性的定义进行证明即可．
（2）根据函数周期性进行转化求解即可得到结论．
（3）求解f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，利用周期函数的性质得出f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×（1+0-1+0）+1=1，求解即可．

解答 （1）证明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期函数，周期为4；
（2）解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-2），
若x∈[2，4]，则x-2∈[0，2]，
∵当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
∴当x-2∈[0，2]时，f（x-2）=2（x-2）-（x-2）²．
∴x∈[2，4]，f（x）=-f（x-2）=（x-2）（x-4）；
（3）解：∵x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
∴f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，
2017÷4=504×4+1
∴f（1）+f（2）+…+f（2017）=504×（1+0-1+0）+1=1．

点评 本题主要考查函数周期性的证明以及函数解析式的求解，利用函数周期性的定义，结合函数对称性的性质进行转化是解决本题的关键．