Question

已知数列{a_n}中，a1=

5

6

，a2=

19

36

，且数列{b_n}是公差为-1的等差数列，其中bn=log2(an+1-

an

3

)．数列{c_n}是公比为

1

3

的等比数列，其中cn=an+1-

an

2

，则数列{a_n}的通项公式为a_n=

6[(

1

2

)n+1-(

1

3

)n+1]．

．

Answer 1

分析：由bn=log2(an+1-

an

3

)可求得b₁，由等差数列通项公式可求b_n，从而可得an+1-

an

3

①．由cn=an+1-

an

2

可得c₁，由等比数列通项公式可得c_n，从而得an+1-

an

2

②，由①②两式可得答案．

解答：解：b1=log2(a2-

a1

3

)=log2(

19

36

-

5

18

)=log2

1

4

=-2，
所以b_n=-2+（n-1）（-1）=-（n+1），则-（n+1）=log2(an+1-

an

3

)，即an+1-

an

3

=(

1

2

)n+1①，
c1=a2-

a1

2

=

19

36

-

5

12

=

1

9

，
所以cn=

1

9

•(

1

3

)n-1=(

1

3

)n+1，即an+1-

an

2

=(

1

3

)n+1②，
①-②得，

1

6

an=(

1

2

)n+1-(

1

3

)n+1，
所以an=6[(

1

2

)n+1-(

1

2

)n+1]，
故答案为：6[(

1

2

)n+1-(

1

3

)n+1]．

点评：本题考查等差数列等比数列的通项公式，考查学生的运算求解能力，属中档题．