Question

9．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x_i（单位：千元）与月储蓄y_i（单位：千元）的数据资料，算得$\sum_{i=1}^{10}$x_i=80，$\sum_{i=1}^{10}$y_i=20，$\sum_{i=1}^{10}$x_iy_i=184，$\sum_{i=1}^{10}$x${\;}_{i}^{2}$=720．
（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知n，$\overline{x}$，$\overline{y}$，进而代入可得b、a值，可得方程；
（2）由回归方程x的系数b的正负可判；
（3）把x=7代入回归方程求其函数值即可．

解答 解：（1）由题意知n=10，$\overline{x}$=$\frac{80}{10}$=8，$\overline{y}$=$\frac{20}{10}$=2，
又$\sum_{i=1}^{10}$x${\;}_{i}^{2}$-n×$\overline{x}$²=720-10×8²=80，$\sum_{i=1}^{10}$x_iy_i-n$\overline{x}$$\overline{y}$=184-10×8×2=24，
由此得b═$\frac{24}{80}$=0.3，a=2-0.3×8=-0.4，
故所求回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.3x-0.4．…（6分）
（2）由于变量y的值随x的值增加而增加（b=0.3＞0），故x与y之间是正相关．…（9分）
（3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7（千元）．…（12分）

点评 本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．