Question

对任意函数f(x)，x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

(1)输入数据x₀∈D，经数列发生器输出x₁＝f(x₀)．

(2)若x₁D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈输入端，再输出x₂＝f(x₁)，…

依此规律继续下去，现定义f(x)＝．

(1)若输入x₀＝，则由数列发生器产生数列{x_n}，请写出数列{x_n}的所有项．

(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x₀的值．

(3)若输入x₀时，产生的无穷数列{x_n}满足：对任一正整数n，均有x_n＜x_n+1，求x₀的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

分析：本题构造了一个满足某种条件的数列发生器，实际上就是给出了一个“规则”，在“规则”的引导下，从特殊值(输入x0＝)出发，推出x1、x2、…，逐步寻找出xn与xn+1的某种递推关系．这种解题思路恰好是研究数列题中递推关系的体现． 　　 　　 　　评析：此数列发生器的“控制开关”是能否确定x1∈D，当x1＝－1时，数列发生器就会停止，若满足条件xn＜xn+1的新定义域为，当x1∈时，一定有xi+1∈，就可产生满足条件的无穷数列．