Question

定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x₁、x₂，且x₁≠x₂，都有，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）（或其它底在（0，1）上的对数函数）．…（2分）
（2）函数在区间（0，+∞）上具有性质L．…（4分）
证明：任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂
则==
∵x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，
∴（x₁-x₂）²＞0，2x₁•x₂（x₁+x₂）＞0
即＞0，
∴
所以函数在区间（0，+∞）上具有性质L．…（8分）
（3）任取x₁、x₂∈（0，1），且x₁≠x₂
则===
∵x₁、x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，
∴（x₁-x₂）²＞0，4x₁•x₂（x₁+x₂）＞0
要使上式大于零，必须2-a•x₁•x₂（x₁+x₂）＞0在x₁、x₂∈（0，1）上恒成立，
即，
∴a≤1，
即实数a的取值范围为（-∞，1]…（14分）
分析：（1）写出的函数是下凹的函数即可；
（2）函数在区间（0，+∞）上具有性质L．根据定义，任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂
只需要证明＞0即可；
（3）任取x₁、x₂∈（0，1），且x₁≠x₂则＞0，只需要2-a•x₁•x₂（x₁+x₂）＞0在x₁、x₂∈（0，1）上恒成立，即，故可求实数a的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查新定义，考查恒成立问题，解题的关键是对新定义的理解，恒成立问题采用分离参数法．