Question

已知对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x³-3ax（a∈R）相切．
（I）求实数a的取值范围；
（II）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于

1

4

．试证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）由直线x+y+m=0得直线斜率为-1，直线x+y+m=0不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为-1，即f′（x）≠-1，求导函数，并求出其范围[-3a，+∞），得不等式-3a＞-1，得实数a的取值范围；
（II）转化问题，等价于当x∈[-1，1]时，|f（x）|_max≥

1

4

，设g（x）=|f（x）|，观察出g（x）在[-1，1]上是偶函数，只需求g（x）在[0，1]上的最大值，求函数单调性时，因为含有参数，所以要对参数进行讨论，分为两类求解，在每一类都可证明g（x）_max≥

1

4

，问题得证．

解答：解：（I）f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
∵对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x³-3ax（a∈R）相切，
∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，∴实数a的取值范围为a＜

1

3

；
（II）存在，证明：问题等价于当x∈[-1，1]时，|f（x）|_max≥

1

4

，
设g（x）=|f（x）|，则g（x）在[-1，1]上是偶函数，
故只要证明当x∈[0，1]时，|f(x)|max≥

1

4

，
①当a≤0时，f′（x）=3x²-3a≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）=0，g（x）=f（x），
g（x）_max=f（1）=1-3a＞1＞

1

4

；
②当0＜a＜

1

3

时，f′（x）=3x²-3a=3（x+

a

）（x-

a

），
令f′（x）＜0，得0＜x＜

a

，令f′（x）＞0得

a

＜x＜1，
∴f（x）在[0，

a

]上单调递减，在[

a

，1]上单调递增，
注意到f(0)=f(

3a

)=0，且

a

＜

3a

＜1，
∴x∈（0，

3a

）时，g（x）=-f（x），x∈（

3a

，1]时，g（x）=f（x），
∴g（x）_max=max{f（1），-f（

a

）}，
由f(1)=1-3a≥

1

4

及0＜a＜

1

3

，解得0＜a≤

1

4

，此时-f(

a

)≤f(1)成立．
∴g(x)max=f(1)=1-3a≥

1

4

．
由-f(

a

)=2a

a

≥

1

4

及0＜a＜

1

3

，解得

1

4

≤a＜

1

3

，此时-f(

a

)≥f(1)成立．
∴g(x)max=-f(

a

)=2a

a

≥

1

4

．
∴在x∈[-1，1]上至少存在一个x₀，使得|f（x₀）|≥

1

4

成立，
即当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上至少存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于

1

4

．

点评：本题考查导数在最大值，最小值问题中的应用，难点之一为利用导数求函数单调性时，式子里面有参数，要对参数进行分类讨论，难点之二要清楚原函数f（x）的零点，排除f（0）为最大值的可能，同时得出g（x）与f（x）的关系．