Question

已知两个动点A，B和一个定点P(

3

，

3

2

)均在抛物线x²=2py上，设F为抛物线的焦点，Q为抛物线对称轴上一点，若|

FA

| ， |

FP

| ， |

FB

|成等差数列，且(

QA

+

1

2

AB

)•

AB

=0（A，B与P不重合）．
（1）求证：线段AB的中点在直线y=

3

2

上；
（2）求点Q的纵坐标；
（3）求|

AB

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由P(

3

，

3

2

)在抛物线x²=2py上，可求p，由|

FA

| ， |

FP

| ， |

FB

|成等差数列，可得2|

FP

|=|

FA

| + |

FB

|，利用坐标表示可证
（2）由(

QA

+

1

2

AB

)•

AB

=0，即

QM

•

AB

=0，利用坐标表示及点A，B满足抛物线的方程联立可求
（3）设M(x0，

3

2

)，则可得kAB=

y2-y1

x2-x1

=

x1+x2

2

=x0，从而有AB：y-

3

2

=x0(x-x0)，代入x²=2py，整理得x²-2x₀x+2x₀²-3=0，结合方程的性质及|

AB

|=

1+ x 2 0

|x2-x1|=

1+ x 2 0

12-4 x 2 0

=2

4-( x 2 0 -1)2

，可求

解答：解：（1）P(

3

，

3

2

)在抛物线x²=2py上，所以3=2p×

3

2

，所以p=1．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），因为|

FA

| ， |

FP

| ， |

FB

|成等差数列，
所以2|

FP

|=|

FA

| + |

FB

|，所以2(

3

2

+

p

2

)=(y1+

p

2

)+(y2+

p

2

)，所以

y1+y2

2

=

3

2

，
即线段AB的中点在直线y=

3

2

上． …（2分）
（2）设AB的中点为M，则M(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，(

QA

+

1

2

AB

)•

AB

=0，即

QM

•

AB

=0，(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

-yQ)•(x2-x1，y2-y1)=0，（x₁+x₂）（x₂-x₁）+（y₁+y₂-2y_Q）（y₂-y₁）
=0，x₂²-x₁²+（y₁+y₂-2y_Q）（y₂-y₁）=0，…（4分）
又x₁²=2y₁，x₂²=2y₂，所以2（y₂-y₁）+（y₁+y₂-2y_Q）（y₂-y₁）=0，
依题意，y₁≠y₂，所以y₁+y₂-2y_Q+2=0，yQ=

y1+y2

2

+1=

5

2

．…（6分）
（3）设M(x0，

3

2

)，kAB=

y2-y1

x2-x1

=

x1+x2

2

=x0，所以AB：y-

3

2

=x0(x-x0)，
代入x²=2py，得x²-2x₀x+2x₀²-3=0…（*）
由△＞0，得12-4x₀²＞0，即x₀²＜3，注意到A、B与P不重合，
所以0＜x₀²＜3，…（8分）
|

AB

|=

1+ x 2 0

|x2-x1|=

1+ x 2 0

12-4 x 2 0

=2

4-( x 2 0 -1)2

，
结合0＜x₀²＜3，|

AB

|∈(0，4]．即|

AB

|的取值范围为（0，4]．…（10分）

点评：本题主要考查了；利用抛物线的性质求解抛物线的方程，解决（1）的关键是根据抛物线的定义写出FA，FB，FP，而处理直线与曲线的位置关系的问题时．在联立方程后，要主要对方程判别式的限制条件的考虑