如图所示的长方体中.底面是边长为的正方形.为与的交点..是线段的中点． (Ⅰ)求证:平面, (Ⅱ)求证:平面, (Ⅲ)求二面角的大小．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本题满分14分）

如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)见解析（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）连接，如图，∵、分别是、的中点，是矩形，

∴四边形是平行四边形，∴． ……………………………………………2分

∵平面，平面，

∴平面．………………………… 4分

（Ⅱ）连接，∵正方形的边长为，，

∴，，，

则，∴． ……………6分

∵在长方体中，，

，

∴平面，又平面，

∴，又，

∴平面． ……………………………8分

（Ⅲ）在平面中过点作于，连结，

∵，，

∴平面，又平面， ……………………9分

∴，又，且，

∴平面，而平面， ………………………………_ks5u

_ks5u

10分

∴．

∴是二面角的平面角． …………………………_ks5u

_ks5u

12分

在中，，

∴，，

∴二面角的大小为． ………………………………………_ks5u

_ks5u

14分

解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，

∴

又点，，

∴

∴，且与不共线，

∴．

又平面，平面，

∴平面． …………………………………_ks5u

_ks5u

4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面． …………………………………………_ks5u

_ks5u

8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴为平面的法向量．

∵，，

∴为平面的法向量．

∴，

∴与的夹角为，即二面角的大小为． ……………………………14分

（Ⅲ）（法三）设二面角的大小为，在平面内的射影就是，根据射影面积公式可得，，

∴，∴二面角的大小为 …………_ks5u

_ks5u

14分

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