Question

在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数f（x）为“弱增”函数．已知函数．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增”函数；
（2）设x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，证明；
（3）当x∈[0，1]时，不等式恒成立，求实数a，b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）显然f（x）在区间（0，1]为增函数，化简的解析式为，显然是减函数，可得f（x）在区间（0，1]为“弱增”函数．
（2）化简|f（x₂）-f（x₁）|的解析式为，由，即可证得命题成立．
（3）当x∈（0，1]时，不等式等价于：，由为减函数，可得，从而求得实数a，b的取值范围．
解答：解：（1）显然f（x）在区间（0，1]为增函数，
∵，
∴为减函数．∴f（x）在区间（0，1]为“弱增”函数．
（2），
∵x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，，
∴|f（x₂）-f（x₁）|．
（3）∵当x∈[0，1]时，不等式恒成立． 当x=0时，不等式显然成立．
当x∈（0，1]时．等价于：，
由（1）为减函数，，∴．
点评：本题考查函数的单调性的判断和证明，不等式的证明，体现了分类讨论的数学思想，得到当x∈（0，1]时．等价于：，是解题的难点．