【题目】已知函数f(x)= ﹣mx(m∈R). (Ⅰ)当m=0时,讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当b>a>0时,总有 >1成立,求实数m的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)m=0即f(x)= ,令f′(x)= , x,f′(x),f(x)的变化如下:
x | (﹣∞,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | + | 0 | ﹣ |
f(x) | 递增 | 递减 |
∴函数f(x)在(﹣∞,1)递减,在(1,+∞)递增;
(Ⅱ)∵b>a>0时,总有 >1成立,
即函数h(x)=f(x)﹣x在区间(0,+∞)递增,
由h(x)= ﹣(m+1)x,(x>0)得h′(x)= ﹣(m+1)≥0在(0,+∞)恒成立,
即m≤ ﹣1在区间(0,+∞)恒成立,
设k(x)= ﹣1,则k′(x)= ,令k′(x)=0,则x=2,
故x∈(0,2)时,k′(x)<0,函数k(x)在(0,2)递减,
x∈(2,+∞)时,k′(x)>0,函数k(x)在(2,+∞)递增,
故k(x)min=k(2)=﹣1﹣ ,
故m的范围是m≤﹣1﹣
【解析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)由函数h(x)=f(x)﹣x在区间(0,+∞)递增,问题转化为m≤ ﹣1在区间(0,+∞)恒成立,设k(x)= ﹣1,根据函数的单调性求出m的范围即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】已知函数f(x)=2|x+1|+|2x﹣a|(x∈R).
(1)当a>﹣2时,函数f(x)的最小值为4,求实数a的值;
(2)若对于任意,x∈[﹣1,4],不等式f(x)≥3x恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知椭圆 的右焦点F(1,0),椭圆Γ的左,右顶点分别为M,N.过点F的直线l与椭圆交于C,D两点,且△MCD的面积是△NCD的面积的3倍.
(Ⅰ)求椭圆Γ的方程;
(Ⅱ)若CD与x轴垂直,A,B是椭圆Γ上位于直线CD两侧的动点,且满足∠ACD=∠BCD,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
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【题目】下列命题正确的是( )
A. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行
B. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
C. 垂直于同一条直线的两条直线相互垂直
D. 若两条直线与第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行
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【题目】已知椭圆:的两个焦点分别为和,短轴的两个端点分别为和,点在椭圆上,且满足,当变化时,给出下列三个命题:
①点的轨迹关于轴对称;②的最小值为2;
③存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个,
其中,所有正确命题的序号是__________.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆经过,,,三点,是线段上的动点,,是过点且互相垂直的两条直线,其中交轴于点,交圆于、两点.
(1)若,求直线的方程;
(2)若是使恒成立的最小正整数,求三角形的面积的最小值.
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【题目】已知函数.
(1)若f(-1)=f(1),求a,并直接写出函数的单调增区间;
(2)当a≥时,是否存在实数x,使得=一?若存在,试确定这样的实数x的个数;若不存在,请说明理由.
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【题目】某射击游戏规定:每位选手最多射击3次;射击过程中若击中目标,方可进行下一次射击,否则停止射击;同时规定第i(i=1,2,3)次射击时击中目标得4﹣i分,否则该次射击得0分.已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8,且其各次射击结果互不影响.
(Ⅰ)求甲恰好射击两次的概率;
(Ⅱ)设该选手甲停止射击时的得分总和为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.
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