【题目】已知函数,直线是曲线的一条切线.
(1)求实数a的值;
(2)若对任意的x(0,),都有,求整数k的最大值.
【答案】(1)1(2)3
【解析】
(1)设出切点的坐标,利用斜率和切点在直线上列方程组,解方程组求得切点的坐标以及的值.(2)构造函数,利用导数证得当时函数的最小值大于零,当函数值的最小值小于零,由此求得点的最大整数值为.
解:(1)设切点P(m,mlnm+am+1),
由f ′(x)=lnx+1+a
知 f(m)=lnm+1+a.
则在点P处的切线l方程为:y=(lnm+1+a)x-m+1.
若与题目中的切线重合,则必有,
解得a=m=1,
所以a的值为1.
(2) 令F(x)=f(x)-k(x-1),
则根据题意,等价于F(x)>0对任意的正数x恒成立.
F ′(x)=lnx+2-k,
令F ′(x)=0,则x=ek-2 .
当0<x<ek-2 ,则F ′(x)<0,F(x)在(0,ek-2)上单减;
当x>ek-2 ,则F ′(x)>0,F(x)在(ek-2,+∞)上单增.
所以有F(x)=F(ek-2) >0,即ek-2-k-1<0.
当k=3,容易验证,ek-2-k-1<0;
下证:当k≥4,ek-2-k-1>0成立.
令h(x)=ex-2-x-1,x≥4,
则h ′(x)=ex-2-1≥0,对任意的x≥4恒成立。
于是h(x)在[4,+∞)上单增,
故h(x)=h(4)=e2-5>0;
所以对于任意的x≥4,ex-2-x-1>0.
综上,k的最大值为3.
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【题目】为美化城市环境,相关部门需对一半圆形中心广场进行改造出新,为保障市民安全,施工队对广场进行围挡施工.如图,围挡经过直径的两端点A,B及圆周上两点C,D围成一个多边形ABPQR,其中AR,RQ,QP,PB分别与半圆相切于点A,D,C,B.已知该半圆半径OA长30米,∠COD为60°,设∠BOC为.
(1)求围挡内部四边形OCQD的面积;
(2)为减少对市民出行的影响,围挡部分面积要尽可能小.求该围挡内部多边形ABPQR面积的最小值?并写出此时的值.
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【题目】青岛市黄岛区金沙滩海滨浴场是一个受广大冲浪爱好者喜爱的冲浪地点.已知该海滨浴场的海浪高度是时间t(,单位:小时)的函数,记作.经长期观察,的曲线可近似地看成是函数的图象,其中.用“五点法”函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并求出函数的函数表达式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)中的结论,判断一天内的上午8:00到晚上20:00之间有多少时间可供冲浪者进行运动?
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【题目】为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析.下面是该生7次考试的成绩.
数学 | 88 | 83 | 117 | 92 | 108 | 100 | 112 |
物理 | 94 | 91 | 108 | 96 | 104 | 101 | 106 |
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明;
(2)已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的,若该生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性,给出该生在学习数学、物理上的合理建议.
参考公式:方差公式:,其中为样本平均数.,。
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【题目】袋子中有四个小球,分别写有“文、明、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】(本小题满分16分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为()千元.设该容器的建造费用为千元.
(1)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2)求该容器的建造费用最小时的.
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【题目】如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据(利润=营业额-支出),根据折线图,下列说法中正确的是( )
A.该超市这五个月中,利润随营业额的增长在增长
B.该超市这五个月中,利润基本保持不变
C.该超市这五个月中,三月份的利润最高
D.该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关
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