Question

f(x)定义域为D={x|log2(

4

|x|

-1)≥1}，当x＞0时f(x)单调递增，又对于任意x₁、x₂∈D，有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）将D用区间表示；
（2）求证：f（1）=f（-1）=0；
（3）解不等式：f（x）≤0．

Answer 1

（1）∵log2(

4

|x|

-1)≥1
∴

4

|x|

-1≥2
∴

4

|x|

≥3∴|x|≤

4

3

∴-

4

3

≤x≤ 

4

3

且x≠0
∴D=[-

4

3

 ，0)∪(0，

4

3

]…（4分）
（2）令x₁=x₂=1
则f（x）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x₁=x₂=-1
则f（x）=2f（-1）=0
∴f（-1）=0…（8分）
（3）由x∈（0，1）时，f（x）单调增，
∴f（x）＜0，
当x∈（-1，0）时，令-1＜x₁＜x₂＜0
∴0＜

x2

x1

＜1
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＜0
∴f（x）在（-1，0）上为减函数．
∵f（-1）=0…（10分）
∴f（x）在（-1，0）上f（x）＜0
不等式的解集为[-1，0）∪（0，1]…（12分）