Question

若实数a，b，c，d满足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、2

  2

• D、8

Answer 1

分析：由题设b+a²-3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx-x²；c-d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=3lnx-x²与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答：解解：∵实数a、b、c、d满足：
（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b+a²-3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx-x²，且c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=3lnx-x²与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，
对曲线y=3lnx-x²求导：y′（x）=

3

x

-2x，
与y=x+2平行的切线斜率k=1=

3

x

-2x，解得：x=1或x=-

3

2

（舍），
把x=1代入y=3lnx-x²，得：y=-1，即切点为（1，-1），
切点到直线y=x+2的距离：

|1+1+2|

2

=2

2

，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值就是8． 
故选：D．

点评：本题考查对数运算法则的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．