Question

（2013•盐城二模）若实数a、b、c、d满足

a2-2lna

b

=

3c-4

d

=1，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为

2(ln2-1)2

5

．

Answer 1

分析：由

a2-2lna

b

=

3c-4

d

=1可知点P（a，b）是曲线y=x²-2lnx上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，由导数的几何意义可知，过曲线y=x²-2lnx上的点P（a，b）且与线y=3x-4平行时，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²有最小值．

解答：解：∵

a2-2lna

b

=

3c-4

d

=1，
∴点P（a，b）是曲线f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，
∴|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²．
要使|PQ|²最小，当且仅当过曲线y=x²-2lnx上的点P（a，b）且与线y=3x-4平行时．
∵f′（x）=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

（x＞0），
由f′（x）＞0得，x＞1；由f′（x）＜0得0＜x＜1．
∴当x=1时，f（x）取得极小值，为1．
作图如下：


∵f′（x）|_x=a=2a-

2

a

，直线y=3x-4的斜率k=3，
∴2a-

2

a

=3，
∴a=2或a=-

1

2

（由于a＞0，故舍去）．
∴b=2²-2ln2=4-2ln2．
设点P（2，4-2ln2）到直线y=3x-4的距离为d，则d²=

|6-(4-2ln2)-4|2

( 10 )2

=

2(ln2-1)2

5

．
∵|PQ|²≥d²=

2(ln2-1)2

5

，
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值为

2(ln2-1)2

5

．
故答案为：

2(ln2-1)2

5

．

点评：本题考查函数最值的应用，分析得到点P（a，b）是曲线y=x²-2lnx上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，|PQ|²=（a-c）²+（b-d）²是关键，也是难点，考查理解题意与等价转化思想的综合应用，考查导数的几何意义及点到直线间的距离，属于难题．