Question

（2013•盐城二模）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为4，D为的CC₁中点．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积

a

•

b

=0?

a

⊥

b

，即可证明AB₁⊥平面A₁BD；
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角．

解答：（1）证明：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁，
取B₁C₁中点为O₁，以O为原点，

OB

，

OO1

，

OA

的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则B(2，0，0)，D(-2，2.0)，A1(0，4，2

3

)，A(0，0，2

3

)，B1(2，4，0)．
∴

AB1

=(2，4，-2

3

)，

BD

=(-4，2，0)，

BA1

=(-2，4，2

3

)．
∵

AB1

•

BD

=-8+8+0=0，

AB1

•

BA1

=-4+16-12=0．
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

，
∴AB₁⊥面A₁BD．
（2）设平面A₁AD的法向量为

n

=(x，y，z)，

AD

=(-2，2，-2

3

)，

AA1=

(0，4，0)．

n

⊥

AD

，

n

⊥

AA1

，
∴

n • AD =0 n • AA1 =0

，∴

-2x+2y-2 3 z=0 4y=0

，⇒

y=0 x=- 3 z

，
令z=1，得

n

=(-

3

，0，1)为平面A₁AD的一个法向量，由（1）知AB₁⊥面A₁BD，
∴

AB1

为平面A₁AD的法向量，cos＜

n

，

AB1

＞=

n • AB1

| n || AB1 |

=

-2 3 -2 3

2×4 2

=-

6

4

，
由图可以看出：二面角A-A₁D-B是锐角．
∴二面角A-A₁D-B的余弦值为

6

4

．

点评：熟练掌握：通过建立如图所示的空间直角坐标系的方法，利用数量积与垂直的关系证明线面垂直；利用两个平面的法向量的夹角得到二面角．