Question

【题目】已知函数，函数，（ ），若对任意，总存在，使得成立，则的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】对函数f(x)求导可得： ，

令f′(x)=0解得或.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示：

x	0				1
f′(x)			0	+
f(x)		单调递减	4	单调递增	3

所以,当时,f(x)是减函数;当时,f(x)是增函数。

当x∈[0,1]时,f(x)的值域是[4,3].

对函数g(x)求导,则g′(x)=3(x2a2).

因为a1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1a2)0，

因此当x∈(0,1)时,g(x)为减函数，

从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)]，

又g(1)=12a3a2,g(0)=2a，

即当x∈[0,1]时有g(x)∈[12a3a2,2a]，

任给x1∈[0,1],f(x1)∈[4,3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)，

则[12a3a2,2a][4,3],即，

解①式得a1或a，

解②式得a，

又a1,故a的取值范围内是.